1
Dari Skalar ke Vektor: Tantangan Sistem Nonlinier
MATH007Lesson 10
00:00

Beralih dari satu persamaan $f(x)=0$ ke sistem multivariabel adalah kunci untuk menyelesaikan masalah rekayasa yang kompleks, mulai dari mekanika orbit hingga analisis struktur tanah. Kita tidak lagi mencari nol sederhana pada suatu garis, melainkan titik perpotongan bersamaan dari $n$ hipersurface dalam ruang berdimensi $n$.

1. Struktur Matematis

Sistem nonlinier direpresentasikan sebagai himpunan persamaan di mana setiap fungsi komponen bergantung pada vektor variabel tak diketahui $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^t$:

$$f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$\vdots$$ $$f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$

Kita menyederhanakannya menjadi bentuk vektor: rumus inti:

$$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$$

di mana $\mathbf{F} = (f_1, f_2, \dots, f_n)^t$. Fungsi-fungsi individu $f_i$ ditentukan sebagai fungsi koordinat fungsi koordinat dari $\mathbf{F}$.

2. Dasar Analitik dan Kekontinuan

Untuk menyelesaikan sistem ini secara numerik, kita harus memastikan pemetaan berperilaku baik. Definisi 10.1–10.3 menegaskan bahwa limit dan kekontinuan dalam $\mathbb{R}^n$ ditentukan berdasarkan komponen.

Definisi 10.3

Misalkan $\mathbf{F}$ adalah fungsi dari $D \subset \mathbb{R}^n$ ke $\mathbb{R}^n$. Kita mengatakan $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{L} = (L_1, L_2, \dots, L_n)^t$ jika dan hanya jika:

$$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f_i(\mathbf{x}) = L_i$$ untuk setiap $i=1, \dots, n$.

Menggunakan definisi $\epsilon-\delta$: untuk setiap $\epsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga $\|\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{L}\| < \epsilon$ bila selalu $0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta$.

Kesalahan Umum: Independensi Norma
Nuansa penting: Meskipun berbagai norma ($\ell_1, \ell_2, \ell_\infty$) dapat digunakan, kekontinuan tidak tergantung pada pilihan tertentu. Kehadiran limit tetap tidak berubah terhadap norma vektor apa pun dalam $\mathbb{R}^n$.

3. Ringkasan Teoretis

Teorema 1.6: Untuk fungsi dari $\mathbb{R}$ ke $\mathbb{R}$, kekontinuan sering kali dapat dibuktikan dengan menunjukkan diferensialitas. Dalam kasus multivariabel, jika turunan parsial dari fungsi koordinat ada dan terbatas, maka kekontinuan terjamin, yang merupakan prasyarat bagi metode iteratif.

Contoh Klasik: Contoh 1

Pertimbangkan masalah pelat lingkaran di tanah. Susun sistem nonlinier $3 \times 3$ ke dalam bentuk standar $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$:

  1. $3x_1 - \cos(x_2 x_3) - \frac{1}{2} = 0$
  2. $x_1^2 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin x_3 + 1.06 = 0$
  3. $e^{-x_1 x_2} + 20x_3 + \frac{10\pi - 3}{3} = 0$

Di sini, $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^t$ dan $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), f_3(\mathbf{x}))^t$.